Quelques mots sur… la géométrie hyperbolique

Quelques éléments de contexte pour commencer. J’ai ouvert un compte Mastodon, le réseau social libre et décentralisé, sur l’instance de La Quadrature du Net, mamot.fr :

https://mamot.fr/@ThierryJoffredo

J’y ai récemment testé la liberté donnée par les 500 caractères disponibles pour chaque « toot » pour essayer un nouveau format de contribution. J’ai enchaîné quelques toots pour décrire les origines de la géométrie hyperbolique (domaine dont je ne suis pas du tout spécialiste, soit dit en passant – soyez indulgent.e à la lecture du billet), en donnant accès à quelques ressources (notamment historiques) intéressantes. Le résultat n’est pas tout à fait convaincant : 12 messages enchaînés de près de 500 caractères chacun, c’est bien trop, et la remarque m’a été faite par Clément Pagès – fort à propos d’ailleurs – que le contenu que je proposais se prêtait sans doute mieux à la forme d’un billet de blog.

C’est donc ce billet que je vous propose aujourd’hui, en reprenant directement – moyennant quelques mineurs modifications – les contenus publiés sur Mastodon ici. Bonne lecture !


La géométrie grecque culmine avec les Éléments d’Euclide, sans doute une des œuvres les plus diffusées de l’histoire humaine (sous forme de manuscrits ou de livres), qui a traversé les âges et les pays, traduit en de nombreuses langues, du monde arabe jusqu’en Chine. On ne sait presque rien de son auteur, qui aurait vécu 3 siècles avant notre ère (mais même de ça, on n’est pas sûr).

Allez voir, par exemple, le dossier consacré à Euclide et ses Éléments sur CultureMath (par Bernard Vitrac himself): http://culturemath.ens.fr/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grecs-4.htm

La géométrie qui y est décrite repose sur des définitions et des axiomes (ou demandes), grâce auxquels on démontre en toute logique des propositions et des théorèmes. L’un de ces axiomes, aussi connu comme le cinquième postulat d’Euclide, énonce :

Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Source : Wikipedia, article « Axiome des parallèles »

La traduction française de Peyrard (1804) ne vous aide peut-être pas : cet énoncé est équivalent à un autre énoncé, attribué à Proclus, sans doute bien plus facile à saisir :

Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée.

Longtemps, les géomètres vont penser que cet « axiome » se déduit des autres, et devrait donc plutôt intégrer la catégorie des théorèmes. Mais personne, ni dans le monde arabe au Moyen-Âge, ni dans l’Europe à l’époque, moderne n’y parvient vraiment : les démonstrations proposées de ce qu’on appelle alors la « théorie des parallèles » sont toujours circulaires. Que faire ? Renoncer ? Certains entrevoient alors ce qui va faire définitivement basculer la géométrie au début du XIXe siècle : le remplacer par sa négation ne semble pas provoquer de catastrophe ! Autrement dit, si on remplace le cinquième postulat par sa négation (ou par cet énoncé équivalent : « la somme des angles d’un triangle est inférieure à deux angles droits »), on commence à construire une nouvelle géométrie qui garde toute sa cohérence : les propositions et théorèmes qu’on peut en déduire sont logiquement valides – mais on leur dénie toute capacité à décrire le monde réel. On l’appelle alors pangéométrie, géométrie stellaire ou astrale.

Le premier à vraiment formaliser les résultats de cette nouvelle géométrie est l’inévitable Carl Friedrich Gauss, « Princeps Mathematicorum », qui ne rend pas ses résultats publics. Mais vers 1830 le hongrois Janos Bolyai, militaire de l’armée autrichienne, et le russe Nikolai Lobatchevski, professeur à l’université de Kazan, publient indépendamment leurs recherches sur cette nouvelle géométrie, qui finira par être nommée hyperbolique.

On peut trouver l’article Géométrie imaginaire de Lobatchevski, publié en français dans le Journal de Crelle en 1837, ici :
http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002141388

Le texte original de Janos Bolyai, publié en latin en annexe d’un livre de son père Farkas, peut être consulté ici :
http://www.babordnum.fr/items/show/266
Heureusement il existe une traduction en français de ce texte sous le titre La science absolue de l’espace publiée chez Gauthier-Villars en 1868 (document qui m’a été aimablement signalé par Patrick Pecatte) : https://books.google.fr/books?id=GSVbAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA3#v=onepage&q&f=false

Mais à quoi donc peut ressembler ce monde dont la géométrie ne semble pas répondre aux mêmes lois que le nôtre ? Il existe aujourd’hui de nombreux modèles ; en 1902 Henri Poincaré a tenté, dans La science et l’hypothèse, de faire sentir à son lecteur ce que pouvait être un monde non euclidien :

(à lire sur Wikisource : https://fr.wikisource.org/wiki/La_Science_et_l%E2%80%99Hypoth%C3%A8se/Chapitre_4 )

Néanmoins, pour vous représenter ce que ce monde hyperbolique peut être, je vous invite plutôt à consulter cet article du site Images des mathématiques, écrit par Jos Leys (et dont est tirée l’illustration ci-dessous), intitulé Une chambre hyperbolique (dont est tirée l’illustration ci-dessus) : http://images.math.cnrs.fr/Une-chambre-hyperbolique.html

Une autre ressource très intéressante est la vidéo de Science4All, intitulée La géométrie hyperbolique :

Enfin, voici quelques livres pour celles.eux qui veulent aller plus loin. J’avais assez aimé le livre de Mlodinow, Dans l’œil du compas, qui s’adresse à des non-spécialistes, et aspire à retracer toute l’histoire de la géométrie d’Euclide à Einstein :
http://www.editions-saintsimon.com/faq-items/mlodinow-leonard/. Mais le ou la spécialiste préférera le livre joliment titré Worlds out of nothing, de Jeremy Gray : http://www.springer.com/us/book/9780857290595 qui est sur ma liste depuis longtemps (à bon entendeur !).

La géométrie hyperbolique n’est pas la seule géométrie non-euclidienne. Un second exemple était là, sous nos yeux, depuis si longtemps : la sphère terrestre (où les « droites » sont les grands cercles) est en effet un exemple de géométrie n’obéissant pas au cinquième postulat (par un point donné, on ne peut tracer aucune parallèle à une droite donnée). Ironiquement, le monde dans lequel nous vivons est un espace qui n’obéit pas à la géométrie d’Euclide !

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